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Função Exponencial
Função Exponencial é aquela que a variável está no expoente e cuja base é sempre maior que zero e diferente de um.
Essas restrições são necessárias, pois 1 elevado a qualquer número resulta em 1. Assim, em vez de exponencial, estaríamos diante de uma função constante.
Além disso, a base não pode ser negativa, nem igual a zero, pois para alguns expoentes a função não estaria definida.
Por exemplo, a base igual a - 3 e o expoente igual a 1/2. Como no conjunto dos números reais não existe raiz quadrada de número negativo, não existiria imagem da função para esse valor.
Exemplos:
f(x) = 4x
f(x) = (0,1)x
f(x) = (⅔)x
Nos exemplos acima 4, 0,1 e ⅔ são as bases, enquanto x é o expoente.
Gráfico da função exponencial
O gráfico desta função passa pelo ponto (0,1), pois todo número elevado a zero é igual a 1. Além disso, a curva exponencial não toca no eixo x.
Na função exponencial a base é sempre maior que zero, portanto a função terá sempre imagem positiva. Assim sendo, não apresenta pontos nos quadrantes III e IV (imagem negativa).
Abaixo representamos o gráfico da função exponencial.
Função Crescente ou Decrescente
A função exponencial pode ser crescente ou decrescente.
Será crescente quando a base for maior que 1. Por exemplo, a função y = 2x é uma função crescente.
Para constatar que essa função é crescente, atribuímos valores para x no expoente da função e encontramos a sua imagem. Os valores encontrados estão na tabela abaixo.
Observando a tabela, notamos que quando aumentamos o valor de x, a sua imagem também aumenta. Abaixo, representamos o gráfico desta função.
Por sua vez, as funções cujas bases são valores maiores que zero e menores que 1, são decrescentes. Por exemplo, f(x) = (1/2)x é uma função decrescente.
Calculamos a imagem de alguns valores de x e o resultado encontra-se na tabela abaixo.
Notamos que para esta função, enquanto os valores de x aumentam, os valores das respectivas imagens diminuem. Desta forma, constatamos que a função f(x) = (1/2)x é uma função decrescente.
Com os valores encontrados na tabela, traçamos o gráfico dessa função. Note que quanto maior o x, mais perto do zero a curva exponencial fica.
Função Logarítmica
A inversa da função exponencial é a função logarítmica. A função logarítmica é definida como f(x) = logax, com a real positivo e a ≠ 1.
Sendo, o logaritmo de um número definido como o expoente ao qual se deve elevar a base a para obter o número x, ou seja, y = logax ⇔ ay = x.
Uma relação importante é que o gráfico de duas funções inversas são simétricos em relação a bissetriz dos quadrantes I e III.
Desta maneira, conhecendo o gráfico da função exponencial de mesma base, por simetria podemos construir o gráfico da função logarítmica.
No gráfico acima, observamos que enquanto a função exponencial cresce rapidamente, a função logarítmica cresce lentamente.
Exercícios
Veja um exemplo:
3x = 27
Observe que 27 é igual a 33. Substituindo esse valor na equação, teremos:
3x = 33
Note que as bases são iguais. Agora podemos usar a propriedade das equações exponenciais e escrever:
x = 3
Exemplos:
1º – Resolva a equação: 2x + 4 = 64.
Solução:
2x + 4 = 64
Observe que 64 é uma potência de base 2, pois 64 = 26. Substituindo esse valor na equação, teremos:
2x + 4 = 26
Usando a propriedade das equações exponenciais, teremos:
x + 4 = 6
Para finalizar, basta calcular a equação resultante.
x = 6 – 4
x = 2
Resolva:
2 x + 1 = 1024
5 3x – 5 = 625
81 x = 243
ASSISTAM A AULA ACIMA DO CENTRO DE MÍDIAS SOBRE EXPONENCIAL. QUALQUER DÚVIDA E PARA MANDAR A ATIVIDADE UTILIZEM O EMAIL hmadeira@professor.educacao.sp.gov.br
Bom trabalho 😀
